С-6. Тригонометрические функции числового аргумента Вариант 4 1. Докажите тождество sin² t 1 + cos t + sint ctg t = 1. 21 π 2. Известно, что ctg t = 20' 2 < t < π. Вычислите sint, cost, tgt.

Ответ: Решение в разработке

Решение:

Вариант 4

1. Докажите тождество \[\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \sin t \cdot \cot t = 1\]

Преобразуем левую часть: \[\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = \frac{\sin^2 t + \cos t(1 + \cos t)}{1 + \cos t} = \frac{\sin^2 t + \cos t + \cos^2 t}{1 + \cos t} = \frac{1 + \cos t}{1 + \cos t} = 1\]

Тождество доказано.

2. Известно, что \[\cot t = -\frac{21}{20}, \quad \frac{\pi}{2} < t < \pi\]

Вычислите \(\sin t\), \(\cos t\), \(\tan t\). Так как \(\frac{\pi}{2} < t < \pi\), угол \(t\) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Найдем \(\tan t\): \[\tan t = \frac{1}{\cot t} = -\frac{20}{21}\]

Используем тождество: \[1 + \cot^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}\] \[\sin^2 t = \frac{1}{1 + \cot^2 t} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{21}{20}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{441}{400}} = \frac{1}{\frac{400 + 441}{400}} = \frac{400}{841}\] \[\sin t = \pm \sqrt{\frac{400}{841}} = \pm \frac{20}{29}\]

Так как \(t\) во второй четверти, \(\sin t\) положителен: \[\sin t = \frac{20}{29}\]

Теперь найдем \(\cos t\): \[\cos t = \sin t \cdot \cot t = \frac{20}{29} \cdot \left(-\frac{21}{20}\right) = -\frac{21}{29}\]

Ответ: \(\sin t = \frac{20}{29}\), \(\cos t = -\frac{21}{29}\), \(\tan t = -\frac{20}{21}\)