С-6. Тригонометрические функции числового аргумента Вариант 3 cost 1 - sin t 1. Докажите тождество - tg tctgt = sin t. 2. Известно, что tg t = + 24' π < t < 7 3π 2

Ответ: Решение в разработке

Решение:

Вариант 3

1. Докажите тождество \[\frac{\cos^2 t}{1 - \sin t} - \tan t \cdot \cot t = \sin t\]

Преобразуем левую часть: \[\frac{\cos^2 t}{1 - \sin t} - 1 = \frac{\cos^2 t - (1 - \sin t)}{1 - \sin t} = \frac{\cos^2 t - 1 + \sin t}{1 - \sin t} = \frac{-\sin^2 t + \sin t}{1 - \sin t} = \frac{\sin t(1 - \sin t)}{1 - \sin t} = \sin t\]

Тождество доказано.

2. Известно, что \[\tan t = +\frac{7}{24}, \quad \pi < t < \frac{3\pi}{2}\]

Вычислите \(\sin t\), \(\cos t\), \(\cot t\).

Так как \(\pi < t < \frac{3\pi}{2}\), угол \(t\) находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны.

\[\cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{24}{7}\]

Используем тождество: \[1 + \tan^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}\]

\[\cos^2 t = \frac{1}{1 + \tan^2 t} = \frac{1}{1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576 + 49}{576}} = \frac{576}{625}\]

\[\cos t = \pm \sqrt{\frac{576}{625}} = \pm \frac{24}{25}\]

Так как \(t\) в третьей четверти, \(\cos t\) отрицателен: \[\cos t = -\frac{24}{25}\]

Теперь найдем \(\sin t\): \[\sin t = \tan t \cdot \cos t = \frac{7}{24} \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) = -\frac{7}{25}\]

Ответ: \(\sin t = -\frac{7}{25}\), \(\cos t = -\frac{24}{25}\), \(\cot t = \frac{24}{7}\)