ТЕМА 1. Тригонометрические функции С-6. Тригонометрические функции числового аргумента Вариант 1 1. Докажите тождество 1-cost 1- sint +tgt ctg t = 1 cost 2. Известно, что sint = 15 3π 17, π < t < ா. 2 Вычислите cost, tg t, ctg t.

Ответ: Решение в разработке

Решение:

Вариант 1

1. Докажите тождество \[\frac{1-\cos t}{1-\sin^2 t} + \tan t \cdot \cot t = \frac{1}{\cos t}\]

Преобразуем левую часть:

\[\frac{1-\cos t}{\cos^2 t} + 1\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{1-\cos t + \cos^2 t}{\cos^2 t}\]

Это не равно правой части, тождество неверно.

2. Известно, что \[\sin t = -\frac{15}{17}, \quad \pi < t < \frac{3\pi}{2}\]

Вычислите \(\cos t\), \(\tan t\), \(\cot t\).

Так как \(\pi < t < \frac{3\pi}{2}\), угол \(t\) находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны.

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 t + \cos^2 t = 1\]

\[\cos^2 t = 1 - \sin^2 t\]

\[\cos^2 t = 1 - \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}\]

\[\cos t = \pm \sqrt{\frac{64}{289}} = \pm \frac{8}{17}\]

Так как \(t\) в третьей четверти, \(\cos t\) отрицателен:

\[\cos t = -\frac{8}{17}\]

Теперь найдем \(\tan t\) и \(\cot t\):

\[\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{15}{17}}{-\frac{8}{17}} = \frac{15}{8}\]

\[\cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{8}{15}\]

Ответ: \(\cos t = -\frac{8}{17}\), \(\tan t = \frac{15}{8}\), \(\cot t = \frac{8}{15}\)