С2. ВК – биссектриса угла АВС, АС — биссектриса угла ВАЕ, угол АКВ прямой. Какую длину должен иметь отрезок АЕ, чтобы прямые АВ и СЕ были параллельными?

Дано: ВК - биссектриса ∠АВС, АС - биссектриса ∠BAE, ∠AKB = 90°.

Найти: длину АЕ, чтобы АВ || СЕ.

Решение:

Так как АВ || СЕ, то ∠BAC = ∠ACE (накрест лежащие углы).

Так как АС - биссектриса ∠BAE, то ∠BAC = ∠CAE.

Тогда ∠ACE = ∠CAE, следовательно, ΔACE - равнобедренный, и АЕ = СЕ.

Рассмотрим ΔАВК. ∠AKB = 90°, ВК - биссектриса ∠АВС.

Пусть ∠ABK = ∠CBK = x. Тогда ∠ABC = 2x.

Пусть ∠BAK = y. Тогда в ΔАВК: x + y = 90°.

Так как АВ || СЕ, то ∠ABC + ∠BCE = 180° (односторонние углы).

2x + ∠BCE = 180°

∠BCE = 180° - 2x.

∠ACE = ∠BCE - ∠BCA = (180° - 2x) - ∠BCA.

Так как ∠BAC = y, то ∠BAE = 2y.

В ΔABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°

y + 2x + ∠BCA = 180°

∠BCA = 180° - y - 2x.

Так как АВ || СЕ, то ∠BAE + ∠E = 180°

Если АВ || СЕ, то ∠ABC+∠BCE = 180. Если предположить, что АЕ = АВ = ВС, то треугольник АВС равнобедренный и ∠ВАС=∠ВСА.

Недостаточно данных для определения длины АЕ.

Ответ: недостаточно данных.