С2. ВК - биссектриса угла АВС, АС — биссектриса угла ВАЕ, угол АКВ прямой. Какую длину должен иметь отрезок АЕ, чтобы прямые АВ и СЕ были параллельными?

Прямые АВ и СЕ параллельны, если ∠ВАС = ∠АСЕ (накрест лежащие углы). Так как АС - биссектриса угла ВАЕ, то ∠ВАС = ∠САЕ. Следовательно, ∠ВАС = ∠АСЕ = ∠САЕ. Таким образом, треугольник АСЕ - равнобедренный, следовательно АЕ = СЕ.

Рассмотрим треугольник АВК. ВК - биссектриса угла АВС, следовательно ∠АВК = ∠СВК. Угол АКВ прямой, равен 90°. Сумма углов треугольника АВК равна 180°. Следовательно, ∠ВАК = 180° - ∠АКВ - ∠АВК = 180° - 90° - ∠АВК = 90° - ∠АВК.

Рассмотрим треугольник АВС. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, ∠ВСА = 180° - ∠ВАС - ∠АВС = 180° - ∠ВАС - 2∠АВК.

По условию АЕ || АВ, ∠ВАС = ∠АСЕ = ∠САЕ. ∠ВАС = ∠САЕ. Следовательно АЕ = СЕ = 2АС.

Ответ: АЕ = 2АС