С1. Все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, и диагонали граней равны √65, √113, 4√5 см. Найдите длины ребер параллелепипеда. Ответ:

Пусть параллелепипед имеет ребра a, b, c. Диагонали граней равны:

• $$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{65}$$
• $$d_2 = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{113}$$
• $$d_3 = \sqrt{b^2 + c^2} = 4\sqrt{5}$$

Возводим в квадрат:

• $$a^2 + b^2 = 65$$
• $$a^2 + c^2 = 113$$
• $$b^2 + c^2 = 80$$

Складываем уравнения:

$$2(a^2 + b^2 + c^2) = 65 + 113 + 80 = 258$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 129$$

Вычитаем уравнения:

• $$c^2 = 129 - 65 = 64$$ $$c = 8$$
• $$b^2 = 129 - 113 = 16$$ $$b = 4$$
• $$a^2 = 129 - 80 = 49$$ $$a = 7$$

Ответ: a = 7, b = 4, c = 8