С1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов на 40° меньше суммы двух других.

Решение:

Пусть углы равнобедренного треугольника равны \( α, α, β \) или \( α, β, β \).

Сумма углов треугольника: \( α + α + β = 180° \) или \( α + β + β = 180° \).

Условие: один из углов на 40° меньше суммы двух других.

Случай 1: Угол при вершине (\( β \)) меньше суммы двух других (\( α + α \)).

\( β = (α + α) - 40° \)

\( β = 2α - 40° \).

Подставляем в сумму углов: \( 2α + β = 180° \).

\( 2α + (2α - 40°) = 180° \).

\( 4α - 40° = 180° \).

\( 4α = 220° \).

\( α = \frac{220°}{4} = 55° \).

\( β = 2α - 40° = 2 · 55° - 40° = 110° - 40° = 70° \).

Углы: 55°, 55°, 70°. Проверка: 55° + 55° + 70° = 180°. 70° = (55°+55°) - 40° → 70° = 110° - 40° → 70° = 70°. Этот случай подходит.

Случай 2: Угол при основании (\( α \)) меньше суммы двух других (\( α + β \)).

\( α = (α + β) - 40° \).

\( α = α + β - 40° \).

\( 0 = β - 40° \).

\( β = 40° \).

Подставляем в сумму углов: \( α + 2β = 180° \).

\( α + 2 · 40° = 180° \).

\( α + 80° = 180° \).

\( α = 100° \).

Углы: 100°, 40°, 40°. Проверка: 100° + 40° + 40° = 180°. Угол при основании \( α \) = 100°. Сумма двух других углов (основания) \( α + β \) = 100° + 40° = 140°. Условие: \( α = (α + β) - 40° \) → 100° = 140° - 40° → 100° = 100°. Этот случай тоже подходит.

Ответ: 55°, 55°, 70° или 100°, 40°, 40°.