С1. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Построение и обозначения:

• Пусть ABCD — прямоугольная трапеция, где AB || CD, а AD — высота (угол D = угол A = 90°).
• Пусть O — центр вписанной окружности.
• Пусть большая боковая сторона — BC.
• Проведем перпендикуляры из O на стороны трапеции. Радиус вписанной окружности обозначим как r.
• Расстояния от центра O до концов большей боковой стороны BC равны 6 см и 8 см. Пусть это будут отрезки OK и OL, где K и L — точки касания на BC.
• Важное замечание: В прямоугольной трапеции центр вписанной окружности находится на равном расстоянии от боковых сторон. Расстояние от центра окружности до каждой стороны, касающейся окружности, равно радиусу (r).
• Пусть точка касания на AD — P, на AB — Q, на CD — R, на BC — S. Тогда OP = OQ = OR = OS = r.
• Так как трапеция прямоугольная, AD является высотой. Значит, AB = CD = 2r.
• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов.
• Расстояния от центра окружности до концов большей боковой стороны BC (точки B и C) равны 6 см и 8 см. Это означает, что OB = 6 см и OC = 8 см.

2. Нахождение радиуса вписанной окружности:

• Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные центром O, вершинами B и C, и точками касания.
• Пусть S — точка касания на BC. OS = r.
• В прямоугольном треугольнике OBC, OS является высотой, проведенной к гипотенузе (если бы O лежало на BC, но это не так).
• Рассмотрим треугольники OQB и OSC.
• Так как Q и S — точки касания, OQ ⊥ AB и OS ⊥ BC.
• Если OQ = r, то расстояние от O до AB равно r.
• Если OS = r, то расстояние от O до BC равно r.
• Так как трапеция прямоугольная, AD = 2r.
• Расстояние от центра O до точки B равно OB = 6 см.
• Расстояние от центра O до точки C равно OC = 8 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром O, вершиной B и точкой касания Q на AB. OB = 6, OQ = r. Расстояние от B до точки касания Q будет $$BQ = ext{sqrt}(OB^2 - OQ^2) = ext{sqrt}(6^2 - r^2)$$.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром O, вершиной C и точкой касания S на BC. OC = 8, OS = r. Расстояние от C до точки касания S будет $$CS = ext{sqrt}(OC^2 - OS^2) = ext{sqrt}(8^2 - r^2)$$.
• ame{Боковая сторона} BC = BQ + CS (если S лежит между B и C, что не всегда верно).
• Другой подход:
• Пусть больший катет (высота) трапеции — AD. Тогда AD = 2r.
• Пусть большая боковая сторона — BC.
• Пусть O — центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из O на стороны AB, BC, CD, AD. Все они равны r.
• Расстояния от центра O до концов большей боковой стороны BC равны OB=6 и OC=8.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза OB = 6. Один из катетов — перпендикуляр от O к AB, т.е. r. Второй катет — расстояние от B до точки касания на AB.
• Пусть точка касания на AD - P, на AB - Q, на BC - S, на CD - R.
• OP = OQ = OR = OS = r.
• AD = 2r.
• AB = 2r.
• CD = 2r.
• OB = 6, OC = 8.
• ame{В прямоугольном треугольнике} OQB: OQ = r, OB = 6. $$BQ = ext{sqrt}(OB^2 - OQ^2) = ext{sqrt}(36 - r^2)$$.
• ame{В прямоугольном треугольнике} ORC: OR = r, OC = 8. $$CR = ext{sqrt}(OC^2 - OR^2) = ext{sqrt}(64 - r^2)$$.
• ame{Длина боковой стороны} BC = BS + SC.
• ame{Точки касания:} BQ = BR, CS = CP.
• ame{Сторона} AB = AQ + QB = r + BQ.
• ame{Сторона} CD = CR + RD = r + CR.
• ame{Сторона} AD = AP + PD = r + r = 2r.
• ame{Сторона} BC = BS + SC.
• ame{Из равенства касательных:} BQ = BR, CP = CR, AQ = AP = r, DR = RD = r.
• AB = AQ + QB = r + BQ.
• CD = DR + RC = r + RC.
• BC = BS + SC.
• ame{Рассмотрим} ame{треугольник} ABC. AB = 2r. BC = BS + SC.
• ame{Рассмотрим} ame{треугольник} BQC: OQ ⊥ AB, OS ⊥ BC.
• ame{Если} OB=6, OC=8, то ame{в} ame{прямоугольном} ame{треугольнике} OQB, $$BQ = ext{sqrt}(6^2 - r^2)$$.
• ame{в} ame{прямоугольном} ame{треугольнике} OSC, $$CS = ext{sqrt}(8^2 - r^2)$$.
• ame{BC = BS + SC}.
• ame{Из свойства касательных:} BQ = BR, CS = CP.
• ame{AD = 2r}. ame{AB = 2r}. ame{CD = 2r}.
• ame{Если} BQ = ext{sqrt}(36 - r^2), ame{то} AB = r + ext{sqrt}(36 - r^2) = 2r.
• ame{Значит, } ext{sqrt}(36 - r^2) = r.
• $$36 - r^2 = r^2$$ => $$36 = 2r^2$$ => $$r^2 = 18$$ => $$r = ext{sqrt}(18) = 3 ext{sqrt}(2)$$.
• ame{Если} CS = ext{sqrt}(64 - r^2), ame{то} CD = r + ext{sqrt}(64 - r^2) = 2r.
• ame{Значит, } ext{sqrt}(64 - r^2) = r.
• $$64 - r^2 = r^2$$ => $$64 = 2r^2$$ => $$r^2 = 32$$ => $$r = ext{sqrt}(32) = 4 ext{sqrt}(2)$$.
• ame{Получили противоречие. Радиус должен быть единственным.}
• ame{Переосмыслим условие: "Расстояния от центра вписанной ... окружности до концов большей боковой стороны".}
• ame{Это означает:} OB = 6, OC = 8.
• ame{Пусть} O — центр вписанной окружности.
• ame{Пусть} AD = h, AB = c1, CD = c2, BC = c_side.
• ame{В прямоугольной трапеции:} $$h = 2r$$. AB=2r. CD=2r.
• ame{Это неверно, только высота равна диаметру вписанной окружности.}
• ame{Высота трапеции AD = 2r.}
• ame{Боковые стороны AB и CD, основания AB и CD.}
• ame{Пусть AD - высота, AD = 2r.}
• ame{Тогда AB и CD — основания.}
• ame{Или AD и BC — основания.}
• ame{Если трапеция прямоугольная, то одна из боковых сторон является высотой.}
• ame{Пусть AD — высота, AD=2r.}
• ame{Тогда AB и CD — основания.}
• ame{Если BC — большая боковая сторона.}
• ame{Расстояния от центра O до концов B и C равны 6 и 8.}
• ame{OB=6, OC=8.}
• ame{Рассмотрим прямоугольный треугольник} OQB, где Q — точка касания на AB. OQ=r, BQ = ext{sqrt}(OB^2 - OQ^2) = ext{sqrt}(36-r^2).
• ame{Рассмотрим прямоугольный треугольник} OSC, где S — точка касания на BC. OS=r, CS = ext{sqrt}(OC^2 - OS^2) = ext{sqrt}(64-r^2).
• ame{Теперь найдем высоту трапеции.}
• ame{Пусть C — угол, прилежащий к большей боковой стороне BC.}
• ame{Если угол C = 90°, то трапеция не прямоугольная.}
• ame{Пусть угол D = 90°, угол A = 90°.}
• ame{Тогда AD — высота. AD = 2r.}
• ame{Основания: AB и CD.}
• ame{Большая боковая сторона: BC.}
• ame{Пусть O — центр вписанной окружности.}
• ame{Расстояния от O до B и C равны 6 и 8.}
• ame{OB=6, OC=8.}
• ame{Рассмотрим прямоугольный треугольник} OBC.
• ame{Если провести высоту OS из O на BC, то OS=r.}
• ame{Тогда в прямоугольном треугольнике} OSC: $$OC^2 = OS^2 + SC^2$$, $$8^2 = r^2 + SC^2$$.
• ame{в прямоугольном треугольнике} OSB: $$OB^2 = OS^2 + SB^2$$, $$6^2 = r^2 + SB^2$$.
• ame{BC = BS + SC. Это если S лежит между B и C.}
• ame{AD = 2r. AB = 2r. CD = 2r. Это неверно.}
• ame{В прямоугольной трапеции, если AD — высота, то AD = 2r.}
• ame{Тогда AB и CD — основания.}
• ame{Пусть AB=a, CD=b. AD=2r.}
• ame{Большая боковая сторона — BC.}
• ame{Пусть O — центр вписанной окружности.}
• ame{OB=6, OC=8.}
• ame{Рассмотрим прямоугольный треугольник} ABC.
• ame{Если провести высоту BB1 к CD, то BB1 = AD = 2r.}
• ame{BD = CD - AB = b - a.}
• ame{BC^2 = BB1^2 + BD^2 = (2r)^2 + (b-a)^2.}
• ame{Из условия:} OB = 6, OC = 8.
• ame{Рассмотрим треугольник OBC.}
• ame{Если O — центр вписанной окружности, то OB и OC — биссектрисы углов B и C.}
• ame{Сумма углов прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°.}
• ame{Угол B + Угол C = 180°.}
• ame{Угол OBC + Угол OCB = 180°/2 = 90°.}
• ame{В треугольнике OBC, Угол BOC = 180° - 90° = 90°.}
• ame{Значит, треугольник OBC — прямоугольный.}
• ame{По теореме Пифагора:} $$BC^2 = OB^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
• ame{BC = 10 см.}
• ame{Теперь найдем радиус r.}
• ame{Площадь треугольника OBC = 1/2 * OB * OC = 1/2 * 6 * 8 = 24.}
• ame{Также площадь треугольника OBC = 1/2 * BC * r (где r — высота из O на BC).}
• ame{24 = 1/2 * 10 * r => 24 = 5r => r = 24/5 = 4.8 см.}
• ame{Высота трапеции AD = 2r = 2 * 4.8 = 9.6 см.}
• ame{Теперь найдем основания AB и CD.}
• ame{Пусть AB = a, CD = b.}
• ame{По свойству вписанной окружности в трапецию: сумма оснований равна сумме боковых сторон.}
• ame{AB + CD = AD + BC}
• ame{a + b = 2r + BC = 9.6 + 10 = 19.6 см.}
• ame{Теперь нужно найти a и b.}
• ame{Пусть угол B = eta, угол C = ext{180°} - eta.}
• ame{В прямоугольной трапеции AB || CD, AD ⊥ AB, AD ⊥ CD.}
• ame{Если AD — высота, то Угол DAB = 90°, Угол ADC = 90°.}
• ame{Тогда BC — боковая сторона. Угол ABC + Угол BCD = 180°.}
• ame{Из треугольника OBC, Угол BOC = 90°.
• ame{Пусть Угол ABC = eta. Тогда Угол BCO = 90° - eta/2. Угол OBC = eta/2.
• ame{Угол BCD = 180° - eta.}
• ame{Угол OCB = (180° - eta)/2 = 90° - eta/2.}
• ame{Значит, Угол OBC + Угол OCB = eta/2 + 90° - eta/2 = 90°.}
• ame{В прямоугольном треугольнике OBC, OB=6, OC=8, BC=10.}
• ame{sin(Угол OBC) = OC/BC = 8/10 = 0.8. Угол OBC = arcsin(0.8) ≈ 53.13°.
• ame{cos(Угол OBC) = OB/BC = 6/10 = 0.6.
• ame{eta/2 = 53.13°. eta = 106.26°.
• ame{Угол ABC = 106.26°.
• ame{Угол BCD = 180° - 106.26° = 73.74°.
• ame{Теперь найдем основания.}
• ame{Проведем высоту CF из C на AB.}
• ame{В прямоугольном треугольнике CFB:} CF = AD = 9.6. BF = AB - AF = AB - CD (если AB > CD).
• ame{Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной B, высотой AD и центром O.}
• ame{Пусть Q — точка касания на AB. OQ = r = 4.8. OB = 6.}
• ame{BQ = sqrt(OB^2 - OQ^2) = sqrt(6^2 - 4.8^2) = sqrt(36 - 23.04) = sqrt(12.96) = 3.6.}
• ame{AB = AQ + QB = r + BQ = 4.8 + 3.6 = 8.4 см.}
• ame{Пусть R — точка касания на CD. OR = r = 4.8. OC = 8.}
• ame{CR = sqrt(OC^2 - OR^2) = sqrt(8^2 - 4.8^2) = sqrt(64 - 23.04) = sqrt(40.96) = 6.4.}
• ame{CD = CR + RD = CR + r = 6.4 + 4.8 = 11.2 см.}
• ame{Проверим условие a + b = 19.6.}
• ame{8.4 + 11.2 = 19.6. Верно.}
• ame{Площадь трапеции = (a+b)/2 * h = 19.6 / 2 * 9.6 = 9.8 * 9.6 = 94.08 см^2.}

Ответ: Площадь трапеции равна 94.08 см².