С2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию, — 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

1. Анализ условия:

• ame{Треугольник} ABC — равнобедренный (AB = AC = 10 см).
• ame{Биссектриса AD, проведенная к основанию BC, равна 8 см.}
• ame{В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.}
• Значит, AD ⊥ BC, и D — середина BC.
• ame{BD = DC = BC / 2.}

2. Нахождение основания BC:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB.
• По теореме Пифагора: $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$.
• $$10^2 = 8^2 + BD^2$$.
• $$100 = 64 + BD^2$$.
• $$BD^2 = 100 - 64 = 36$$.
• $$BD = ext{sqrt}(36) = 6$$ см.
• ame{Основание} BC = 2 * BD = 2 * 6 = 12 см.

3. Нахождение радиуса вписанной окружности (r):

• ame{Площадь треугольника} ABC можно найти как $$S = rac{1}{2} imes ext{основание} imes ext{высота} = rac{1}{2} imes BC imes AD = rac{1}{2} imes 12 imes 8 = 48$$ см².
• ame{Полупериметр треугольника} p = (AB + AC + BC) / 2 = (10 + 10 + 12) / 2 = 32 / 2 = 16 см.
• ame{Формула для радиуса вписанной окружности:} r = S / p.
• $$r = 48 / 16 = 3$$ см.

4. Нахождение радиуса описанной окружности (R):

• ame{Формула для радиуса описанной окружности:} $$R = rac{abc}{4S}$$, где a, b, c — стороны треугольника, S — площадь.
• $$R = rac{10 imes 10 imes 12}{4 imes 48} = rac{1200}{192}$$.
• Разделим числитель и знаменатель на 12: $$R = rac{100}{16}$$.
• Разделим на 4: $$R = rac{25}{4} = 6.25$$ см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 3 см, радиус описанной окружности равен 6.25 см.