С1. В кошельке у Виталика было 6 монет по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Виталик, не глядя, переложил какие-то две монеты в другой кошелек. Найдите вероятность того, что обе десятирублевые монеты лежат в одном кошельке.

Решение:

Всего у Виталика \( 6 + 4 = 10 \) монет.

Найдем общее число способов выбрать 2 монеты из 10:

\( C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \) способов.

Рассмотрим два случая, когда обе десятирублевые монеты оказываются в одном кошельке:

1. Обе монеты остались в первом кошельке: Это произойдет, если из 2 выбранных монет ни одна не будет десятирублевой. Другими словами, обе монеты будут пятирублевыми. Число способов выбрать 2 пятирублевые монеты из 6 имеющихся:

\( C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \) способов.

2. Обе монеты переложили во второй кошелек: Это произойдет, если из 2 выбранных монет обе будут десятирублевыми. Число способов выбрать 2 десятирублевые монеты из 4 имеющихся:

\( C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \) способов.

Общее число благоприятных исходов равно сумме способов из этих двух случаев: \( 15 + 6 = 21 \) способ.

Вероятность того, что обе десятирублевые монеты лежат в одном кошельке, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\( P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{21}{45} \)

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

\( P = \frac{7}{15} \)

Ответ: Вероятность того, что обе десятирублевые монеты лежат в одном кошельке, равна \( \frac{7}{15} \).