С2. На панели управления 20 кнопок, из которых 4 сломаны. На этой панели случайным образом нажимают 3 кнопки. Пусть случайная величина X - число нажатых сломанных клавиш. a) Составьте ряд распределения случайной величины Х. б) Определите тип распределения. в) Вычислите дисперсию случайной величины Х.

Решение:

а) Составьте ряд распределения случайной величины Х.

Случайная величина \( X \) - число нажатых сломанных клавиш. Всего кнопок 20, из них 4 сломаны, а \( 20 - 4 = 16 \) исправны. Нажимают 3 кнопки.

Возможные значения \( X \): 0, 1, 2, 3 (не более 3 сломанных, так как всего нажимают 3 кнопки, а сломанных всего 4).

Рассчитаем вероятности для каждого значения \( X \) с использованием формулы гипергеометрического распределения: \( P(X=k) = \frac{C_K^k · C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} \), где \( N=20 \) (общее число кнопок), \( K=4 \) (число сломанных кнопок), \( n=3 \) (число нажатых кнопок), \( k \) - число нажатых сломанных кнопок.

P(X=0): Нажаты 0 сломанных и 3 исправные кнопки.

\( P(X=0) = \frac{C_4^0 · C_{16}^3}{C_{20}^3} = \frac{1 · \frac{16 · 15 · 14}{3 · 2 · 1}}{\frac{20 · 19 · 18}{3 · 2 · 1}} = \frac{560}{1140} = \frac{56}{114} = \frac{28}{57} \)

P(X=1): Нажата 1 сломанная и 2 исправные кнопки.

\( P(X=1) = \frac{C_4^1 · C_{16}^2}{C_{20}^3} = \frac{4 · \frac{16 · 15}{2 · 1}}{1140} = \frac{4 · 120}{1140} = \frac{480}{1140} = \frac{48}{114} = \frac{8}{19} \)

P(X=2): Нажаты 2 сломанные и 1 исправная кнопка.

\( P(X=2) = \frac{C_4^2 · C_{16}^1}{C_{20}^3} = \frac{\frac{4 · 3}{2 · 1} · 16}{1140} = \frac{6 · 16}{1140} = \frac{96}{1140} = \frac{16}{190} = \frac{8}{95} \)

P(X=3): Нажаты 3 сломанные и 0 исправных кнопок.

\( P(X=3) = \frac{C_4^3 · C_{16}^0}{C_{20}^3} = \frac{4 · 1}{1140} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285} \)

Проверка суммы вероятностей: \( \frac{28}{57} + \frac{8}{19} + \frac{8}{95} + \frac{1}{285} = \frac{140}{285} + \frac{120}{285} + \frac{24}{285} + \frac{1}{285} = \frac{285}{285} = 1 \).

Ряд распределения:

б) Определите тип распределения.

Данное распределение является гипергеометрическим, так как производится выборка без возвращения из конечной совокупности, содержащей два типа элементов (сломанные и исправные кнопки).

в) Вычислите дисперсию случайной величины Х.

Для гипергеометрического распределения дисперсия вычисляется по формуле: \( D(X) = n · \frac{K}{N} · \frac{N-K}{N} · \frac{N-n}{N-1} \)

Где \( N=20, K=4, n=3 \).

\( \frac{K}{N} = \frac{4}{20} = 0.2 \)

\( \frac{N-K}{N} = \frac{16}{20} = 0.8 \)

\( \frac{N-n}{N-1} = \frac{20-3}{20-1} = \frac{17}{19} \)

\( D(X) = 3 · 0.2 · 0.8 · \frac{17}{19} = 3 · 0.16 · \frac{17}{19} = 0.48 · \frac{17}{19} = \frac{0.48 · 17}{19} = \frac{8.16}{19} \)

\( \frac{8.16}{19} \approx 0.4295 \)

Можно также представить в виде дроби:

\( D(X) = 3 · \frac{4}{20} · \frac{16}{20} · \frac{17}{19} = 3 · \frac{1}{5} · \frac{4}{5} · \frac{17}{19} = 3 · \frac{4}{25} · \frac{17}{19} = \frac{12}{25} · \frac{17}{19} = \frac{12 · 17}{25 · 19} = \frac{204}{475} \)

Ответ:

а) Ряд распределения случайной величины X:

б) Тип распределения: гипергеометрическое.

в) Дисперсия случайной величины Х равна \( \frac{204}{475} \) (или приблизительно 0.4295).