С1. В пирамиде SABC все рёбра равны a. На ребре AC взята точка K, AK:KC=1:2, на ребре BC — точка L, CL:LB=1:4. Через точки K, L, S проведена плоскость, пересекающая AB в точке E. Найдите длину отрезка LE.

Используем координаты в равностороннем треугольнике ABC. Положим

\(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(C=\left(\dfrac a2,\dfrac{\sqrt3a}{2}\right)\).

Из результата предыдущего пункта точка E находится на продолжении AB за A:

\(E=\left(-\dfrac a7,0\right)\).

Так как \(CL:LB=1:4\), точка L делит CB в отношении \(1:4\) от C к B:

\[L=\frac45C+\frac15B=\left(\frac{3a}{5},\frac{2\sqrt3a}{5}\right).\]

Тогда

\[LE^2=\left(\frac{3a}{5}+\frac a7\right)^2+\left(\frac{2\sqrt3a}{5}\right)^2\]

\[LE^2=\left(\frac{26a}{35}\right)^2+\frac{12a^2}{25}=\frac{676a^2+588a^2}{1225}=\frac{1264a^2}{1225}.\]

Следовательно,

\[LE=\frac{\sqrt{1264}}{35}a=\frac{4\sqrt{79}}{35}a.\]

Ответ: \(\dfrac{4\sqrt{79}}{35}a\).