С1. Вычислите длину отрезка LE.

В основании ABC имеем \(AK=a/3\), \(CK=2a/3\), \(CL=a/5\), а угол между CA и CB равен 60°. В треугольнике CKL угол KCL равен 60°, поэтому по теореме косинусов:

\(KL^2=CK^2+CL^2-2\cdot CK\cdot CL\cdot\cos60^\circ=\frac{4a^2}{9}+\frac{a^2}{25}-\frac{2a^2}{15}=\frac{79a^2}{225}.\)

Значит, \(KL=\frac{\sqrt{79}}{15}a\). Из положения точек на прямой E–K–L и отношений в основании следует \(EK:KL=5:7\), поэтому \(LE=EK+KL=\frac{12}{7}KL\).

\(LE=\frac{12}{7}\cdot\frac{\sqrt{79}}{15}a=\frac{4\sqrt{79}}{35}a.\)

Ответ: \(\frac{4\sqrt{79}}{35}a\).