В2. Найдите длину отрезка AE.

Точка E — пересечение прямой KL с прямой AB. Обозначим \(AB=BC=CA=a\). По условию \(AK:KC=1:2\), поэтому \(AK=a/3\); также \(CL:LB=1:4\), поэтому \(CL=a/5\).

В треугольнике ACK отрезок KL пересекает продолжение стороны AK? Удобно применить теорему Менелая к треугольнику ABC и секущей E–K–L: точки E, K, L лежат на одной прямой. Тогда

\(\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CK}{KA}=1.\)

Подставляем отношения: \(\frac{AE}{EB}\cdot4\cdot2=1\), следовательно \(AE:EB=1:8\). Так как E находится на продолжении AB за A, теорема Менелая с направленными отрезками дает \(AE/EB=1/7\); соответственно \(AE=AB/7\).

Ответ: \(a/7\).