С2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AB. Известно, что MC = MD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина отрезка CD. В треугольнике MCD точки M, O — равноудалены от C и D: по условию MC=MD, а поскольку O — середина CD, OC=OD.

Следовательно, прямая MO является серединным перпендикуляром к CD, то есть \(MO\perp CD\). Точки M и O лежат на прямой AB: M принадлежит AB, а O — диагонали AC, не обязательно AB. Эта аргументация не даёт перпендикулярности AB и CD.

Проверим утверждение координатами: зададим \(A=(0,0)\), \(B=(2,0)\), \(D=(u,v)\), \(C=(2+u,v)\). Тогда M=(1,0). Из MC=MD получаем \((1+u)^2+v^2=(u-1)^2+v^2\), откуда \(u=0\). Значит, \(AD\) вертикальна, а \(AB\) горизонтальна, следовательно, соседние стороны перпендикулярны.

Таким образом, параллелограмм является прямоугольником.