С8. Упростить выражение \(\frac{x-y}{x+y} - \frac{x-y}{x-y}\)

Решение:

1. Найдем общий знаменатель для дробей. Это будет произведение знаменателей: (x+y)(x-y).
2. Приведем обе дроби к общему знаменателю:
• \[ \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)} \]
• \[ \frac{x-y}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2 - y^2}{(x+y)(x-y)} \]
3. Теперь выполним вычитание дробей:
• \[ \frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)} - \frac{x^2 - y^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 - y^2)}{(x+y)(x-y)} \]
• Раскроем скобки в числителе:
• \[ \frac{x^2 - 2xy + y^2 - x^2 + y^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{-2xy + 2y^2}{(x+y)(x-y)} \]
• Вынесем общий множитель 2y в числителе:
• \[ \frac{2y(-x + y)}{(x+y)(x-y)} \]
• Заметим, что (y - x) = -(x - y). Подставим это:
• \[ \frac{2y(-(x-y))}{(x+y)(x-y)} = \frac{-2y(x-y)}{(x+y)(x-y)} \]
• Сократим дробь на (x - y), при условии, что x ≠ y:
• \[ \frac{-2y}{x+y} \]

Ответ: -2y / (x+y)