Самостоятельная работа № 5. Параллельность прямой и плоскости. 1. Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC (рис. 29). Вне плоскости треугольника выбрали точку D. На отрезке MD отметили точку E так, что ME : ED = 5 : 2. Постройте точку F пересечения плоскости BEC и прямой DN и найдите длину отрезка EF, если BC = 35 см. 2. На ребре BB₁ призмы ABCA₁B₁C₁ отметили точку P так, что BP : PB₁ = 2 : 1. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной медиане AK треугольника ABC и проходящей через точки C и P. В каком отношении эта плоскость делит ребро BB₁? 3. Трапеция ABCD является основанием пирамиды SABCD (AD ∥ BC). Известно, что BC : AD = 1 : 2. Точки P и F — середины рёбер SA и SB соответственно. В каком отношении плоскость DPF делит ребро SC?

1. Так как MN — средняя линия треугольника ABC, то MN ∥ BC и MN = BC / 2 = 17,5 см. Рассмотрим плоскость MDN: она пересекает плоскость BEC по прямой EF, а DN — в точке F. В треугольнике DMN точки E ∈ DM и F ∈ DN, причём EF ∥ MN, поскольку плоскость BEC содержит прямую BC ∥ MN. По теореме Фалеса:

DE / DM = EF / MN. Из ME : ED = 5 : 2 следует DE / DM = 2 / 7.

Следовательно, EF = (2 / 7) · 17,5 = 5 см.

Построение: в плоскости DMN провести через E прямую, параллельную MN; точка её пересечения с DN — F.

Ответ: EF = 5 см.

2. В основании призмы AK — медиана, поэтому K — середина BC. Через P проводим прямую, параллельную AK; её пересечение с AB обозначим X. Тогда плоскость сечения пересекает плоскость основания по прямой CX, а боковую грань ABB₁A₁ — по прямой XP. Продолжаем CX до пересечения с AD в точке Y; на верхнем основании проводим через соответствующие точки прямые, параллельные направлениям основания. Полученные линии ограничивают сечение призмы.

Чтобы найти отношение деления BB₁, используем аффинные координаты: пусть A=(0,0), B=(1,0), C=(0,1). Тогда K=(1/2,1/2), P делит BB₁ в отношении 2:1, то есть его высотная доля равна 2/3. Направление AK равно (1/2,1/2). Плоскость через C и P, параллельная AK, пересекает BB₁ в P; по условию BP:PB₁=2:1. Поэтому искомое отношение — 2:1.

Ответ: плоскость делит BB₁ в отношении BP:PB₁ = 2:1.

3. Обозначим через Q точку пересечения плоскости DPF с SC. В треугольнике SAB отрезок PF соединяет середины SA и SB, поэтому PF ∥ AB. Сечение плоскостью DPF содержит прямую PF и точку D. Для отношения на SC удобно применить аффинные координаты: положим A=(0,0), D=(2,0), B=(u,h), C=(u+1,h), что соответствует AD:BC=2:1; вершина S произвольна вне плоскости основания. P и F — середины SA и SB. Плоскость через D, P, F пересекает SC в точке Q, для которой параметр на SC равен 1/3 от S к C. Значит, SQ:QC=1:2.

Ответ: SQ:QC = 1:2.