Самостоятельная работа по теме «Испытания Бернулли». Вариант 1. 1. Что такое испытание Бернулли? Приведите примеры испытаний. 2. Запишите формулой вероятность события «произошло 8 неудач, а при девятой попытке случился успех». 3. Напиши, какое количество элементарных событий при 4 серий испытаний по Бернулли. 4. Вычисли вероятность элементарного события, в котором вероятность успеха испытания р = 0,1, а перед успехом случилось ровно 3 неудачи. 5. (задание ЕГЭ-база) Биатлонист 7 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до тысячных. 6. Сколько элементарных событий в серии из 8 испытаний Бернулли благоприятствует 5 успехам? 7. Найди вероятность того, что четвёрка выпадет ровно два раза, если игральную кость бросают 8 раз. (Ответ округли до тысячных.) 8. Провели опыт, состоящий из 5 испытаний Бернулли. Найди вероятность наступления хотя бы одного успеха в серии испытаний, если вероятность успеха равна 0,3. (Подсказка: сначала найдите вероятность наступления противоположного события, т. е. «0 неуспехов», в серии испытаний Бернулли, а затем этот результат вычтите из 1)

Решение варианта 1: 1. **Испытание Бернулли** - это случайный эксперимент, имеющий только два возможных исхода: успех или неудача. Исходы должны быть взаимоисключающими. Вероятность успеха (p) и неудачи (1-p) должна оставаться постоянной для каждого испытания. * **Примеры**: Бросок монеты (орел или решка), выстрел по мишени (попал или не попал), проверка изделия на соответствие стандарту (годное или бракованное). 2. Вероятность события, что произошло 8 неудач, а при девятой попытке случился успех, можно записать формулой: $P = (1-p)^8 * p$ где $p$ - вероятность успеха в одном испытании. 3. Количество элементарных событий при 4 сериях испытаний Бернулли равно $2^4 = 16$. 4. Вероятность элементарного события, где вероятность успеха $p=0.1$, а перед успехом случилось ровно 3 неудачи, рассчитывается так: $P = (1-p)^3 * p = (1-0.1)^3 * 0.1 = 0.9^3 * 0.1 = 0.729 * 0.1 = 0.0729$ 5. Вероятность попадания в мишень равна 0,85, а вероятность промаха равна 1 - 0,85 = 0,15. Нужно найти вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал, а последние 3 промахнулся. $P = 0.85^4 * 0.15^3 = 0.52200625 * 0.003375 = 0.001762$ Округляем до тысячных: 0.002. 6. Количество элементарных событий, благоприятствующих 5 успехам в серии из 8 испытаний Бернулли, определяется биномиальным коэффициентом: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ $C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8*7*6}{3*2*1} = 56$ 7. Вероятность того, что четвёрка выпадет ровно два раза, если игральную кость бросают 8 раз. Вероятность выпадения четвёрки равна 1/6, а не выпадения - 5/6. $P = C_8^2 * (1/6)^2 * (5/6)^6 = \frac{8!}{2!6!} * (1/36) * (15625/46656) = 28 * (1/36) * (15625/46656) = 28 * 0.0277 * 0.335 = 0.260$ 8. Вероятность хотя бы одного успеха в серии из 5 испытаний Бернулли можно найти, вычислив вероятность противоположного события (ни одного успеха) и вычтя ее из 1. Вероятность неудачи равна 1 - 0,3 = 0,7. Вероятность 5 неудач подряд: $0.7^5 = 0.16807$ Вероятность хотя бы одного успеха: $1 - 0.16807 = 0.83193$ Округляем до тысячных: 0.832.