Самостоятельная работа по теме «Испытания Бернулли». Вариант 2. 1. Что такое испытание Бернулли? Приведите примеры испытаний. 2. Запишите формулой вероятность события «произошло 8 неудач, а при девятой попытке случился успех». 3. Напиши, какое количество элементарных событий при 5 серий испытаний по Бернулли. 4. Вычисли вероятность элементарного события, в котором вероятность успеха испытания р = 0,8, а перед успехом случилось ровно 2 неудачи. 5. (задание ЕГЭ-база) Биатлонист 7 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние пять промахнулся. Результат округлите до десятитысячных. 6. Сколько элементарных событий в серии из 10 испытаний Бернулли благоприятствует 4 успехам? 7. Найди вероятность того, что тройка выпадет ровно два раза, если игральную кость бросают 7 раз. (Ответ округли до тысячных.) 8. Провели опыт, состоящий из 4 испытаний Бернулли. Найди вероятность наступления хотя бы одного успеха в серии испытаний, если вероятность успеха равна 0,3. (Подсказка: сначала найдите вероятность наступления противоположного события, т. е. «0 неуспехов», в серии испытаний Бернулли, а затем этот результат вычтите из 1)

Решение варианта 2: 1. **Испытание Бернулли** - это случайный эксперимент, имеющий только два возможных исхода: успех или неудача. Исходы должны быть взаимоисключающими. Вероятность успеха (p) и неудачи (1-p) должна оставаться постоянной для каждого испытания. * **Примеры**: Бросок монеты (орел или решка), выстрел по мишени (попал или не попал), проверка изделия на соответствие стандарту (годное или бракованное). 2. Вероятность события, что произошло 8 неудач, а при девятой попытке случился успех, можно записать формулой: $P = (1-p)^8 * p$ где $p$ - вероятность успеха в одном испытании. 3. Количество элементарных событий при 5 сериях испытаний Бернулли равно $2^5 = 32$. 4. Вероятность элементарного события, где вероятность успеха $p=0.8$, а перед успехом случилось ровно 2 неудачи, рассчитывается так: $P = (1-p)^2 * p = (1-0.8)^2 * 0.8 = 0.2^2 * 0.8 = 0.04 * 0.8 = 0.032$ 5. Вероятность попадания в мишень равна 0,75, а вероятность промаха равна 1 - 0,75 = 0,25. Нужно найти вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал, а последние 5 промахнулся. $P = 0.75^2 * 0.25^5 = 0.5625 * 0.0009765625 = 0.00054931640625$ Округляем до десятитысячных: 0.0005. 6. Количество элементарных событий, благоприятствующих 4 успехам в серии из 10 испытаний Бернулли, определяется биномиальным коэффициентом: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ $C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10*9*8*7}{4*3*2*1} = 210$ 7. Вероятность того, что тройка выпадет ровно два раза, если игральную кость бросают 7 раз. Вероятность выпадения тройки равна 1/6, а не выпадения - 5/6. $P = C_7^2 * (1/6)^2 * (5/6)^5 = \frac{7!}{2!5!} * (1/36) * (3125/7776) = 21 * (1/36) * (3125/7776) = 21 * 0.0277 * 0.401 = 0.233$ 8. Вероятность хотя бы одного успеха в серии из 4 испытаний Бернулли можно найти, вычислив вероятность противоположного события (ни одного успеха) и вычтя ее из 1. Вероятность неудачи равна 1 - 0,3 = 0,7. Вероятность 4 неудач подряд: $0.7^4 = 0.2401$ Вероятность хотя бы одного успеха: $1 - 0.2401 = 0.7599$ Округляем до тысячных: 0.760.