Сформулируйте и докажите свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°.

Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 30°, а сторона BC является катетом, лежащим напротив угла A. 1. Построим треугольник ABD, равный треугольнику ABC так, что отложим от стороны AC сторону AD=AC. Таким образом, получим треугольник ABD, где ∠D = ∠C = 90°, ∠BAD = ∠BAC = 30°. 2. Треугольники ABC и ABD равны по двум катетам, а следовательно, равны и их гипотенузы AB=AD. 3. Получившийся треугольник ABD является равнобедренным, так как AB=BD. Следовательно ∠ABD=∠BAD=30 градусов. 4. Значит, ∠ABC + ∠ABD = 60 градусов, то есть ∠CBD = 60 градусов. 5. Значит, в треугольнике CBD все углы по 60 градусов, то есть, он равносторонний. Следовательно, CD=BC=BD. 6. Так как AD=AC, а DC=2*AC, то DC=2*BC. Отсюда следует, что BC=1/2*CD, то есть, катет BC, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы CD.