10. Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза.

Утверждение: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза. Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Проведем высоту CD из вершины C к гипотенузе AB. Тогда CD² = AD * DB. Треугольники ACD и CBD подобны треугольнику ABC (по первому признаку подобия, так как у них есть общий угол и прямой угол). Следовательно, треугольники ACD и CBD также подобны друг другу. Из подобия следует, что $$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}$$, откуда CD² = AD * DB.