Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Решение:

Сечение шара плоскостью — круг. Радиус этого круга \( r_{сеч} \) можно найти по теореме Пифагора, используя радиус шара \( R \) и расстояние от центра шара до плоскости \( d \).

\( R^2 = d^2 + r_{сеч}^2 \).

Дано: \( R = 41 \) дм, \( d = 9 \) дм.

\( 41^2 = 9^2 + r_{сеч}^2 \)

\( 1681 = 81 + r_{сеч}^2 \)

\( r_{сеч}^2 = 1681 - 81 = 1600 \)

\( r_{сеч} = \sqrt{1600} = 40 \) дм.

Площадь сечения (круга) равна \( S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2 \).

\( S_{сеч} = \pi \cdot (40)^2 = \pi \cdot 1600 = 1600\pi \) дм².

Сравним с вариантами ответа:

а) 40 \( \pi \) дм²;

б) 1600\( \pi \) дм²;

в) 400\( \pi \) дм²;

г) 50\( \pi \) дм².

Наш результат \( S_{сеч} = 1600\pi \) дм² совпадает с вариантом б).

Ответ: б) 1600\( \pi \) дм².