Школьники попросили определить массу одной монетки и выдали для этого 25 разных монет, рычажные весы и набор гирек. Оказалось, что самая легкая гирька в наборе имеет массу 10 г, а монета была ещё легче. Ученик провел несколько опытов и выяснил, что если на одну чашу весов положить две монеты, то они перевешивают гирю массой 10 г, но легче, чем гиря массой 20 г. Если положить на чашу весов 15 монет, то они легче, чем гири массой 120 г, но тяжелее, чем гири массой 110 г. А если положить 25 монет, то они тяжелее 180 г, но легче 190 г. 1) Определите границы величины массы одной монеты по результатам каждого из трёх экспериментов. Ответ выразите в граммах и округлите до десятых. 2) Оцените, в каком из экспериментов точность определения массы одной монеты будет выше. 3) Пользуясь результатами того из трех измерений, которое позволяет определить массу монеты с наибольшей точностью, найдите объём одной монетки и оцените её погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,8 г/см³. Ответ округлите до сотых. Напишите полное решение этой задачи.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Эксперимент 1:

• Условие: 2 монеты перевешивают 10 г, но легче 20 г.
• Обозначим массу одной монеты как \( m \).
• Из условия следует: \( 10 \text{ г} < 2m < 20 \text{ г} \).
• Разделив все части неравенства на 2, получаем: \( 5 \text{ г} < m < 10 \text{ г} \).
• Границы массы одной монеты: от 5.0 г до 10.0 г.

Эксперимент 2:

• Условие: 15 монет тяжелее 110 г, но легче 120 г.
• Из условия следует: \( 110 \text{ г} < 15m < 120 \text{ г} \).
• Разделив все части неравенства на 15, получаем: \( \frac{110}{15} \text{ г} < m < \frac{120}{15} \text{ г} \).
• Вычисляем: \( 7.333... \text{ г} < m < 8 \text{ г} \).
• Округляем до десятых: \( 7.3 \text{ г} < m < 8.0 \text{ г} \).
• Границы массы одной монеты: от 7.3 г до 8.0 г.

Эксперимент 3:

• Условие: 25 монет тяжелее 180 г, но легче 190 г.
• Из условия следует: \( 180 \text{ г} < 25m < 190 \text{ г} \).
• Разделив все части неравенства на 25, получаем: \( \frac{180}{25} \text{ г} < m < \frac{190}{25} \text{ г} \).
• Вычисляем: \( 7.2 \text{ г} < m < 7.6 \text{ г} \).
• Границы массы одной монеты: от 7.2 г до 7.6 г.

1) Границы массы одной монеты:

• Эксперимент 1: 5.0 г - 10.0 г
• Эксперимент 2: 7.3 г - 8.0 г
• Эксперимент 3: 7.2 г - 7.6 г

2) Оценка точности:

Наибольшая точность определения массы одной монеты достигается в том эксперименте, где интервал допустимых значений массы наименьший. Сравнивая ширину интервалов:

• Эксперимент 1: \( 10.0 - 5.0 = 5.0 \text{ г} \)
• Эксперимент 2: \( 8.0 - 7.3 = 0.7 \text{ г} \)
• Эксперимент 3: \( 7.6 - 7.2 = 0.4 \text{ г} \)

Наименьшая ширина интервала в третьем эксперименте, следовательно, точность выше в эксперименте 3.

3) Объём и погрешность одной монетки (по результатам Эксперимента 3):

• Средняя масса монеты: Используем среднее значение из границ эксперимента 3: \( m_{ср} = \frac{7.2 \text{ г} + 7.6 \text{ г}}{2} = 7.4 \text{ г} \)
• Расчёт объёма: Объём находится по формуле: \( V = \frac{m}{\rho} \), где \( m \) - масса, \( \rho \) - плотность.
  \( V = \frac{7.4 \text{ г}}{6.8 \text{ г/см}^3} \approx 1.0882 \text{ см}^3 \)
• Оценка погрешности массы: Половина ширины интервала третьего эксперимента: \( \Delta m = \frac{7.6 \text{ г} - 7.2 \text{ г}}{2} = 0.2 \text{ г} \).
• Оценка погрешности объёма: Относительная погрешность массы: \( \frac{\Delta m}{m_{ср}} = \frac{0.2 \text{ г}}{7.4 \text{ г}} \).
  Абсолютная погрешность объёма: \( \Delta V = V \cdot \frac{\Delta m}{m_{ср}} = 1.0882 \text{ см}^3 \cdot \frac{0.2 \text{ г}}{7.4 \text{ г}} \approx 0.0294 \text{ см}^3 \)
• Округление объёма и погрешности: Округляем объём до сотых: \( V \approx 1.09 \text{ см}^3 \). Округляем погрешность до сотых: \( \Delta V \approx 0.03 \text{ см}^3 \).

Ответ:

• 1) Границы массы монеты: Эксперимент 1: 5.0 г - 10.0 г; Эксперимент 2: 7.3 г - 8.0 г; Эксперимент 3: 7.2 г - 7.6 г.
• 2) Точность выше в эксперименте 3.
• 3) Объём одной монетки: \( 1.09 \pm 0.03 \text{ см}^3 \).