2. Симметричный игральный кубик бросают дважды. Рассмотрим три события: Х «в первый раз выпало 5 очков», Ү — «сумма выпав- ших очков больше 9» и Z «во второй раз выпало больше 4 очков». а) Какие два из этих трёх событий являются независимыми? б) Известно, что наступили события Х и У. Какова теперь вероят- ность события Z? Объясните ответ.

Решение:

a)

Чтобы определить, какие два события являются независимыми, нужно проверить, выполняется ли условие \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) для каждой пары событий.

• События X и Z: Вероятность наступления события X (выпало 5 очков в первый раз) не зависит от вероятности наступления события Z (во второй раз выпало больше 4 очков). Следовательно, события X и Z независимы.
• События X и Y: Вероятность наступления события X (выпало 5 очков в первый раз) влияет на вероятность наступления события Y (сумма выпавших очков больше 9). Например, если в первый раз выпало 5 очков, то для наступления события Y во второй раз должно выпасть 5 или 6 очков.
• События Y и Z: Вероятность наступления события Z (во второй раз выпало больше 4 очков) влияет на вероятность наступления события Y (сумма выпавших очков больше 9).

Таким образом, независимыми являются события X и Z.

б)

Событие X — в первый раз выпало 5 очков, событие Y — сумма выпавших очков больше 9. Значит, во второй раз выпало либо 5, либо 6 очков. Нужно найти вероятность того, что во второй раз выпало больше 4 очков (событие Z) при условии, что выпало 5 или 6 очков.

Так как известно, что сумма больше 9, то варианты такие:

• 5 + 5 = 10
• 5 + 6 = 11

Оба эти варианты удовлетворяют условию Z (во второй раз выпало больше 4 очков). Таким образом, вероятность события Z равна 1, так как оно обязательно произойдет при условии наступления событий X и Y.

Ответ: a) События X и Z независимы. б) Вероятность события Z равна 1.