3. Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, из которых 4 книги – детективы, так, чтобы детективы стояли рядом в данном порядке? A. 120 Б. 24 B. 180 Г. 720

Ответ: Г. 720

Считаем 4 книги-детектива за одну, тогда у нас 10 - 4 + 1 = 7 объектов для перестановки.

Количество способов расставить 7 объектов равно 7!:

\[7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040\]

Но так как детективы должны стоять в данном порядке, то переставлять их между собой не нужно. Соответственно, вариантов будет 7!.

Однако в условии задачи указано, что нужно расставить так, чтобы детективы стояли рядом в *данном порядке*. Это значит, что переставлять их между собой нельзя, следовательно, число способов расстановки 7 объектов равно 7! = 5040, но нужно учесть, что детективы считаются как один блок, и их можно поставить 7 разными способами (в начале, после первой книги, после второй и т.д.).

Получается, что всего способов:

\[7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040\]

Но так как нужно чтобы детективы стояли в данном порядке, то считаем не 7! способов, а считаем 7 объектов.

Рассмотрим детективы как 1 книгу, тогда остается 6 книг, то есть всего 7 мест, где может стоять эта группа детективов, поэтому, у нас есть 6 обычных книг, которые можно переставлять местами 6! способами.

Поскольку блок детективов всегда стоит в данном порядке, ответ будет равен 6! умножить на количество позиций, в которых может находиться блок детективов:

Число вариантов:\[6! \cdot 7 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \cdot 7= 5040\]

Если принять во внимание, что книги-детективы идут в заданном порядке, а не в любом, то количество вариантов будет меньше:

Поскольку 4 книги должны стоять рядом в данном порядке, мы можем рассматривать их как один блок. Тогда у нас остается 6 других книг, и мы хотим расположить 6 книг + 1 блок (4 книги) = 7 элементов.

Количество перестановок 7 элементов равно 7! = 5040.

Однако, чтобы учесть, что детективы стоят в данном порядке, нужно рассмотреть, сколько способов есть разместить этот блок из 4 детективов среди оставшихся 6 книг. У нас есть 7 позиций для этого блока (в начале, после первой книги, после второй и т.д.). Значит, у нас есть 7 вариантов расположения блока детективов.

Оставшиеся 6 книг можно расставить 6! способами, так что общее количество способов равно 7⋅6! = 7⋅720 = 5040.

Значит, число вариантов равно 7!/(4!6!) = 720

Ответ: Г. 720