29 Сколько элементарных событий благоприятствует появлению трёх орлов, если монету бросают: a) 3 раза; б) 5 раз; в) 7 раз; г) п раз?

Здесь нужно применить формулу Бернулли. Формула Бернулли позволяет рассчитать вероятность $$P(X = k)$$ того, что в $$n$$ независимых испытаниях успех наступит ровно $$k$$ раз, если вероятность успеха в каждом испытании равна $$p$$. Формула имеет вид:

$$ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $$

В данном случае, нужно найти количество элементарных событий, благоприятствующих появлению трёх орлов. Так как бросают монету, то вероятность выпадения орла равна $$p = 0.5$$.

Количество элементарных событий равно биномиальному коэффициенту $$C_n^k$$, который вычисляется как:

$$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

где:

• $$n$$ - количество бросков монеты,
• $$k$$ - количество выпавших орлов (в данном случае, $$k = 3$$).

Рассмотрим предложенные варианты:

1. а) 3 раза:

   Если монету бросают 3 раза, то максимальное количество орлов, которое может выпасть, равно 3. Поэтому количество элементарных событий, благоприятствующих появлению трёх орлов, равно 1.

   $$ C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1 $$

2. б) 5 раз:

   Если монету бросают 5 раз, то количество элементарных событий, благоприятствующих появлению трёх орлов:

   $$ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $$

3. в) 7 раз:

   Если монету бросают 7 раз, то количество элементарных событий, благоприятствующих появлению трёх орлов:

   $$ C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 $$

4. г) n раз?

   В данном случае, количество элементарных событий, благоприятствующих появлению трёх орлов равно $$C_n^3$$, при условии что $$n \geq 3$$.

   $$ C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} $$

Таким образом:

• a) 1
• б) 10
• в) 35
• г) $$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!}$$

Ответ:

• a) 1
• б) 10
• в) 35
• г) $$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!}$$