228 Сколько элементарных событий в серии из 8 испытаний Бернулли благопри- ятствует: а) 2 успехам; б) 6 успехам; в) 5 успехам; г) 3 успехам?

Для решения данной задачи воспользуемся формулой биномиального коэффициента, которая позволяет определить количество способов выбрать k успехов из n испытаний: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

а) 2 успехам:

$$n = 8, k = 2$$

$$\binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

б) 6 успехам:

$$n = 8, k = 6$$

$$\binom{8}{6} = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

в) 5 успехам:

$$n = 8, k = 5$$

$$\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

г) 3 успехам:

$$n = 8, k = 3$$

$$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

Ответ: a) 28, б) 28, в) 56, г) 56