21. Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы: 1) последней была цифра 3; 2) первой была цифра 4; 3) первой была цифра 5, а второй — цифра 1; 4) первой была цифра 2, а последней — цифра 4; 5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке; 6) последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?

В этой задаче мы работаем с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и формируем пятизначные числа без повторений. 1) Если последняя цифра 3, то у нас есть 4 варианта для первой цифры (1, 2, 4, 5), 3 варианта для второй, 2 для третьей и 1 для четвертой. Количество чисел: $$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$. 2) Если первая цифра 4, то у нас есть 4 варианта для последней цифры (1, 2, 3, 5), 3 варианта для второй, 2 для третьей и 1 для четвертой. Количество чисел: $$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$. 3) Если первая цифра 5, а вторая 1, то у нас есть 3 варианта для третьей цифры (2, 3, 4), 2 варианта для четвертой и 1 для последней. Количество чисел: $$3 \times 2 \times 1 = 6$$. 4) Если первая цифра 2, а последняя 4, то у нас есть 3 варианта для второй цифры (1, 3, 5), 2 варианта для третьей и 1 для четвертой. Количество чисел: $$3 \times 2 \times 1 = 6$$. 5) Если первые цифры 3 и 4 в любом порядке, то у нас есть 2 варианта для первых двух цифр (34 или 43). Затем у нас есть 3 варианта для третьей цифры (1, 2, 5), 2 варианта для четвертой и 1 для последней. Количество чисел: $$2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$$. 6) Если последние цифры 1 и 2 в любом порядке, то у нас есть 2 варианта для последних двух цифр (12 или 21). Затем у нас есть 3 варианта для первой цифры (3, 4, 5), 2 варианта для второй и 1 для третьей. Количество чисел: $$2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$$. Ответ: 1) 24 числа 2) 24 числа 3) 6 чисел 4) 6 чисел 5) 12 чисел 6) 12 чисел