Скорость падающего тела массой 4 кг на некотором пути увеличилась с 2 до 8 м/с. Определите работу силы тяжести на этом пути.

Дано:

• Масса тела: $$m = 4$$ кг
• Начальная скорость: $$v_1 = 2$$ м/с
• Конечная скорость: $$v_2 = 8$$ м/с

Найти:

• Работу силы тяжести: $$A_{тяж}$$

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии.

\[ A_{всех сил} = ΔE_k = rac{mv_2^2}{2} - rac{mv_1^2}{2} \]

В данном случае на тело действуют сила тяжести и, возможно, сила сопротивления воздуха. Однако, если мы хотим определить работу именно силы тяжести, мы можем использовать соотношение между работой силы тяжести и изменением потенциальной энергии:

\[ A_{тяж} = -ΔE_p = -(E_{p2} - E_{p1}) = E_{p1} - E_{p2} \]

Изменение высоты $$\Delta h$$, на котором увеличилась скорость, можно найти из кинематического уравнения:

\[ v_2^2 = v_1^2 + 2 g Δh \]

Отсюда:

\[ Δh = rac{v_2^2 - v_1^2}{2g} = rac{(8 ext{ м/с})^2 - (2 ext{ м/с})^2}{2 imes 9.8 ext{ м/с}^2} = rac{64 - 4}{19.6} = rac{60}{19.6} ≈ 3.06 ext{ м} \]

Теперь найдем работу силы тяжести:

\[ A_{тяж} = mg Δh = 4 ext{ кг} imes 9.8 ext{ м/с}^2 imes 3.06 ext{ м} \]

\[ A_{тяж} ≈ 120.072 ext{ Дж} \]

Альтернативный способ (через кинетическую энергию, предполагая, что работа силы тяжести равна изменению кинетической энергии, если нет других сил):

Если бы действовала только сила тяжести, то работа силы тяжести была бы равна изменению кинетической энергии:

\[ A_{тяж} = rac{mv_2^2}{2} - rac{mv_1^2}{2} = rac{4 ext{ кг}}{2}((8 ext{ м/с})^2 - (2 ext{ м/с})^2) \]

\[ A_{тяж} = 2 imes (64 - 4) = 2 imes 60 = 120 ext{ Дж} \]

Этот результат практически совпадает с предыдущим, что указывает на то, что влияние силы сопротивления воздуха не учитывалось или было незначительным.

Ответ: Работа силы тяжести на этом пути равна 120 Дж.