Слушал с живостью:

Слушал с живостью – это словосочетание, так как состоит из двух слов, связанных между собой по смыслу и грамматически.

Тип связи: управление, так как главное слово – слушал (глагол), а зависимое – с живостью (существительное с предлогом), ставится в определенном падеже.

Ответ: словосочетание, управление