Собственная скорость катера в 9 раз больше скорости течения реки. Двигаясь по течению, катер за 4,5 ч проплыл 117 км.

Решение:

1. Пусть \( v_к \) — собственная скорость катера, а \( v_т \) — скорость течения реки.
2. По условию, \( v_к = 9 v_т \).
3. Скорость катера по течению равна \( v_{по} = v_к + v_т \).
4. Подставим \( v_к \): \( v_{по} = 9 v_т + v_т = 10 v_т \).
5. Известно, что катер за \( t = 4,5 \) часа проплыл \( S = 117 \) км.
6. Используем формулу \( S = v \cdot t \).
7. \( 117 = (10 v_т) \cdot 4,5 \)
8. \( 117 = 45 v_т \)
9. Найдем скорость течения реки: \( v_т = \frac{117}{45} = \frac{13}{5} = 2,6 \) км/ч.
10. Найдем собственную скорость катера: \( v_к = 9 v_т = 9 \cdot 2,6 = 23,4 \) км/ч.
11. Найдем скорость катера против течения: \( v_{против} = v_к - v_т = 23,4 - 2,6 = 20,8 \) км/ч.

Ответ: Скорость течения реки — 2,6 км/ч, собственная скорость катера — 23,4 км/ч.