Согласно определению, n! - это произведение подряд идущих натуральных чисел от 1 до n. n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n - 1) * n. Найдите, сколькими нулями оканчивается число 170! - 36!.

Чтобы определить, сколькими нулями оканчивается факториал числа, нужно посчитать, сколько раз число 10 встречается в разложении факториала на простые множители. Поскольку 10 = 2 * 5, а двоек в разложении всегда больше, чем пятерок, достаточно посчитать количество пятерок.

Количество нулей в числе n! равно сумме:

$$\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor + ...$$

где $$\left\lfloor x \right\rfloor$$ обозначает целую часть числа x.

1. Сначала определим количество нулей в числе 170!:

$$\left\lfloor \frac{170}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{170}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{170}{125} \right\rfloor = 34 + 6 + 1 = 41$$

Значит, 170! оканчивается на 41 нуль.

2. Теперь определим количество нулей в числе 36!:

$$\left\lfloor \frac{36}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{36}{25} \right\rfloor = 7 + 1 = 8$$

Значит, 36! оканчивается на 8 нулей.

Теперь нам нужно вычесть 36! из 170!. Число 170! оканчивается на 41 нуль, а число 36! оканчивается на 8 нулей. Когда мы вычитаем одно число из другого, количество нулей в результате зависит от того, какое число меньше.

Пусть $$A = 170!$$ и $$B = 36!$$. Тогда $$A = X \cdot 10^{41}$$ и $$B = Y \cdot 10^{8}$$, где X и Y - числа, не оканчивающиеся на нуль.

Тогда $$170! - 36! = X \cdot 10^{41} - Y \cdot 10^{8} = 10^{8}(X \cdot 10^{33} - Y)$$.

Поскольку $$X \cdot 10^{33}$$ очень велико, то вычитание Y не повлияет на последние 8 нулей. Значит, разность будет оканчиваться на 8 нулей.