Сократите дробь: \frac{2x^2 - x - 3}{2x^2 - 7x + 6} =

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие множители.

1. Разложим числитель квадратного трехчлена $$2x^2 - x - 3$$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - x - 3 = 0$$. $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ Таким образом, числитель можно разложить на множители следующим образом: $$2x^2 - x - 3 = 2(x - 1.5)(x + 1) = (x - 1.5)(2x + 2) = (2x - 3)(x + 1)/$$.
2. Разложим знаменатель квадратного трехчлена $$2x^2 - 7x + 6$$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 7x + 6 = 0$$. $$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$ Таким образом, знаменатель можно разложить на множители следующим образом: $$2x^2 - 7x + 6 = 2(x - 2)(x - 1.5) = (x - 2)(2x - 3)$$.
3. Теперь упростим выражение: $$\frac{2x^2 - x - 3}{2x^2 - 7x + 6} = \frac{(x + 1)(2x - 3)}{(x - 2)(2x - 3)}$$. Сокращаем на $$(2x-3)$$, получим $$\frac{x + 1}{x - 2}$$.

Ответ: $$\frac{x + 1}{x - 2}$$