Сократите дробь: \frac{4x^2 + 2x}{2x^2 + 5x + 2} =

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие множители.

1. Разложим числитель $$4x^2 + 2x$$ на множители: $$4x^2 + 2x = 2x(2x + 1)$$.
2. Разложим знаменатель квадратного трехчлена $$2x^2 + 5x + 2$$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 + 5x + 2 = 0$$. $$D = b^2 - 4ac = (5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0.5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$ Таким образом, знаменатель можно разложить на множители следующим образом: $$2x^2 + 5x + 2 = 2(x + 0.5)(x + 2) = (2x + 1)(x + 2)$$.
3. Теперь упростим выражение: $$\frac{4x^2 + 2x}{2x^2 + 5x + 2} = \frac{2x(2x + 1)}{(x + 2)(2x + 1)}$$. Сокращаем на $$(2x+1)$$, получим $$\frac{2x}{x + 2}$$.

Ответ: $$\frac{2x}{x + 2}$$