Упростите выражение \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 9} и найдите его значение при x = -97.

Для упрощения выражения необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь.

1. Разложим числитель квадратного трехчлена $$x^2 + x - 6$$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + x - 6 = 0$$. $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Таким образом, числитель можно разложить на множители следующим образом: $$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$$.
2. Разложим знаменатель $$x^2 - 9$$ на множители как разность квадратов: $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$.
3. Теперь упростим выражение: $$\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 9} = \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}$$. Сокращаем на $$(x+3)$$, получим $$\frac{x - 2}{x - 3}$$.
4. Найдем значение выражения при $$x = -97$$: $$\frac{-97 - 2}{-97 - 3} = \frac{-99}{-100} = \frac{99}{100} = 0.99$$

Ответ: 0.99