Сократите дробь \frac{4a²+a-3}{a²-1}.

Решение:

Разложим числитель дроби на множители: $$4a^2 + a - 3 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$$.

$$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

$$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$$

Тогда $$4a^2 + a - 3 = 4(a - \frac{3}{4})(a + 1) = (4a - 3)(a + 1)$$.

Разложим знаменатель дроби на множители: $$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$.

Тогда дробь имеет вид: $$\frac{(4a - 3)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{4a - 3}{a - 1}$$.

Ответ: $$\frac{4a - 3}{a - 1}$$.