3. Сократите дробь 3a² + 7a-6/a²-9

Сократим дробь $$\frac{3a^2 + 7a - 6}{a^2 - 9}$$.

Разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $$3a^2 + 7a - 6 = 0$$.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$$

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня:

$$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$

Квадратный трехчлен раскладывается на множители по формуле $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$.

В нашем случае, $$3a^2 + 7a - 6 = 3(a - \frac{2}{3})(a + 3) = (3a - 2)(a + 3)$$.

Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$$.

Сократим дробь: $$\frac{3a^2 + 7a - 6}{a^2 - 9} = \frac{(3a - 2)(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{3a - 2}{a - 3}$$.

Ответ: $$\frac{3a - 2}{a - 3}$$