Сократите дробь (3a²-5a-2)/(a²-4)

Для сокращения дроби $$\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 4}$$ сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель $$3a^2 - 5a - 2$$:

Найдем корни квадратного уравнения $$3a^2 - 5a - 2 = 0$$:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

$$a_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$a_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Тогда числитель можно разложить как $$3(a - 2)(a + \frac{1}{3}) = (a - 2)(3a + 1)$$.

2. Разложим знаменатель $$a^2 - 4$$:

Это разность квадратов: $$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$$.

3. Сократим дробь:

$$\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 4} = \frac{(a - 2)(3a + 1)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{3a + 1}{a + 2}$$