Сократите дробь: а) (√11 - √5) / (11 - √55); б) (64a² + 16a√b + b) / (64a² - b).

Решение:

а) (√11 - √5) / (11 - √55)

1. Заметим, что \( 11 = \sqrt{11} · \sqrt{11} \) и \( \sqrt{55} = \sqrt{5} · \sqrt{11} \).
2. Перепишем знаменатель: \( 11 - \sqrt{55} = \sqrt{11} · \sqrt{11} - \sqrt{5} · \sqrt{11} = \sqrt{11}(\sqrt{11} - \sqrt{5}) \).
3. Теперь сократим дробь: \( \frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{\sqrt{11}(\sqrt{11} - \sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{11}} \).
4. Избавимся от иррациональности в знаменателе: \( \frac{1}{\sqrt{11}} = \frac{1 · \sqrt{11}}{\sqrt{11} · \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}}{11} \).

Ответ: \(\frac{\sqrt{11}}{11}\).

б) (64a² + 16a√b + b) / (64a² - b)

1. Заметим, что числитель является полным квадратом суммы: \( (8a + \sqrt{b})^2 = (8a)^2 + 2 · 8a · \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = 64a^2 + 16a\sqrt{b} + b \).
2. Знаменатель является разностью квадратов: \( 64a^2 - b = (8a)^2 - (\sqrt{b})^2 = (8a - \sqrt{b})(8a + \sqrt{b}) \).
3. Теперь сократим дробь: \( \frac{(8a + \sqrt{b})^2}{(8a - \sqrt{b})(8a + \sqrt{b})} = \frac{8a + \sqrt{b}}{8a - \sqrt{b}} \).

Ответ: \(\frac{8a + \sqrt{b}}{8a - \sqrt{b}}\).