Сократите дробь, если p, q - ненулевые числа:

Давайте упростим данное выражение. Исходное выражение: \[\frac{p^{16} \cdot q^{9} \cdot q^{25} \cdot p^{37}}{q^{35} \cdot p^{21} \cdot q^{6} \cdot p^{25}}\] Сначала упростим числитель и знаменатель, объединяя степени с одинаковыми основаниями: Числитель: \[p^{16} \cdot p^{37} \cdot q^{9} \cdot q^{25} = p^{16+37} \cdot q^{9+25} = p^{53} \cdot q^{34}\] Знаменатель: \[q^{35} \cdot q^{6} \cdot p^{21} \cdot p^{25} = q^{35+6} \cdot p^{21+25} = q^{41} \cdot p^{46}\] Теперь перепишем выражение с упрощенными числителем и знаменателем: \[\frac{p^{53} \cdot q^{34}}{q^{41} \cdot p^{46}}\] Теперь сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \[\frac{p^{53}}{p^{46}} \cdot \frac{q^{34}}{q^{41}} = p^{53-46} \cdot q^{34-41} = p^{7} \cdot q^{-7}\] Так как \(q^{-7} = \frac{1}{q^7}\), выражение можно записать как: \[p^{7} \cdot \frac{1}{q^7} = \frac{p^{7}}{q^{7}}\] Таким образом, упрощенное выражение равно: \[\frac{p^{7}}{q^{7}}\] Ответ: \[\frac{p^{7}}{q^{7}}\] --- Таким образом, мы упростили дробь, используя свойства степеней. Сначала сгруппировали степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, затем сократили одинаковые степени, чтобы получить окончательный результат. Ответ: $$\frac{p^{7}}{q^{7}}$$