solve the integral c)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{0}^{\pi} (2\cos(2x) + \sin(x)) dx \), разделим его на сумму двух интегралов.

1. Найдём первообразную для \( 2\cos(2x) \). Используем подстановку \( u = 2x \), \( du = 2dx \). Интеграл от \( \cos(u) du \) равен \( \sin(u) \). Таким образом, первообразная равна \( \sin(2x) \).
2. Найдём первообразную для \( \sin(x) \), которая равна \( -\cos(x) \).
3. Первообразная для \( 2\cos(2x) + \sin(x) \) равна \( \sin(2x) - \cos(x) \).
4. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{0}^{\pi} (2\cos(2x) + \sin(x)) dx = \left[ \sin(2x) - \cos(x) \right]_{0}^{\pi} \).
5. Подставим пределы интегрирования: \( = (\sin(2\pi) - \cos(\pi)) - (\sin(0) - \cos(0)) \).
6. Вычислим значения тригонометрических функций: \( \sin(2\pi) = 0 \), \( \cos(\pi) = -1 \), \( \sin(0) = 0 \), \( \cos(0) = 1 \).
7. Подставим значения: \( = (0 - (-1)) - (0 - 1) = (0 + 1) - (-1) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \).

Ответ: 2