Solve the integral: \(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{2+x^2}\)

Решение:

Используем формулу интеграла \( \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C \). Здесь \( a^2 = 2 \), следовательно \( a = \sqrt{2} \).

Вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{-1}^{1} \frac{dx}{2+x^2} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{2}}) \right]_{-1}^{1} \]

\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{-1}{\sqrt{2}}) \]

\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{1}{\sqrt{2}} (-\arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})) \]

\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) \]

\[ = \frac{2}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) \]

Ответ: \( \sqrt{2} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) \)