Solve the integral: \(\int \frac{4x^5 + 8x^2 + 2 - 3x}{x^2} dx\)

Решение:

Разделим числитель на \(x^2\) и проинтегрируем каждый член отдельно:

\( \frac{4x^5 + 8x^2 + 2 - 3x}{x^2} = 4x^3 + 8 + \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x} \)

Теперь проинтегрируем:

\[ \int (4x^3 + 8 + 2x^{-2} - 3x^{-1}) dx = \int 4x^3 dx + \int 8 dx + \int 2x^{-2} dx - \int 3x^{-1} dx \]

\[ = 4 \frac{x^4}{4} + 8x + 2 \frac{x^{-1}}{-1} - 3 \ln|x| + C \]

\[ = x^4 + 8x - \frac{2}{x} - 3 \ln|x| + C \]

Ответ: \( x^4 + 8x - \frac{2}{x} - 3 \ln|x| + C \)