Спростіть вираз: \(\frac{a^2+b^2}{2a^2+2ab} + \frac{b}{a+b}\)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: \( 2a^2+2ab = 2a(a+b) \).
2. Общий знаменатель для дробей \( \frac{a^2+b^2}{2a(a+b)} \) и \( \frac{b}{a+b} \) будет \( 2a(a+b) \).
3. Приведём вторую дробь к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на \( 2a \): \( \frac{b}{a+b} = \frac{2ab}{2a(a+b)} \).
4. Выполним сложение дробей: \[ \frac{a^2+b^2}{2a(a+b)} + \frac{2ab}{2a(a+b)} = \frac{a^2+b^2+2ab}{2a(a+b)} \]
5. Заметим, что числитель является полным квадратом суммы: \( a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \).
6. Подставим это в дробь: \[ \frac{(a+b)^2}{2a(a+b)} \]
7. Сократим дробь, убрав \( a+b \) из числителя и знаменателя (при условии \( a+b \neq 0 \)): \[ \frac{(a+b)^2}{2a(a+b)} = \frac{a+b}{2a} \]

Ответ: \( \frac{a+b}{2a} \).