Спростіть вираз: \(\frac{b+4}{ab-b^2} - \frac{a+4}{a^2-ab}\)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители: \( ab-b^2 = b(a-b) \) и \( a^2-ab = a(a-b) \).
2. Общий знаменатель для дробей \( \frac{b+4}{b(a-b)} \) и \( \frac{a+4}{a(a-b)} \) будет \( ab(a-b) \).
3. Приведём первую дробь к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на \( a \): \( \frac{b+4}{b(a-b)} = \frac{a(b+4)}{ab(a-b)} = \frac{ab+4a}{ab(a-b)} \).
4. Приведём вторую дробь к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на \( b \): \( \frac{a+4}{a(a-b)} = \frac{b(a+4)}{ab(a-b)} = \frac{ab+4b}{ab(a-b)} \).
5. Выполним вычитание дробей: \[ \frac{ab+4a}{ab(a-b)} - \frac{ab+4b}{ab(a-b)} = \frac{(ab+4a) - (ab+4b)}{ab(a-b)} = \frac{ab+4a-ab-4b}{ab(a-b)} = \frac{4a-4b}{ab(a-b)} \]
6. Вынесем общий множитель \( 4 \) в числителе: \[ \frac{4(a-b)}{ab(a-b)} \]
7. Сократим дробь, убрав \( a-b \) из числителя и знаменателя (при условии \( a \neq b \)): \[ \frac{4(a-b)}{ab(a-b)} = \frac{4}{ab} \]

Ответ: \( \frac{4}{ab} \).