SQ = TR = 20, ST, MN — ?

Определим, что дано в задаче. Дана равнобокая трапеция SQRT, SQ = TR = 20, ∠Q = 60°. Необходимо найти длину отрезков ST и MN.

Проведем высоты SM и TN. Рассмотрим прямоугольный треугольник SMQ: ∠SMQ = 90°, ∠SQM = 60°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°: ∠MSQ = 90° - ∠SQM = 90° - 60° = 30°.

Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы: SM = 1/2 × SQ = 1/2 × 20 = 10.

Т.к. трапеция равнобокая, то ST = MN.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SMQ. По теореме Пифагора: $$SQ^2 = SM^2 + MQ^2$$.

Выразим MQ: $$MQ^2 = SQ^2 - SM^2$$

$$MQ = \sqrt{SQ^2 - SM^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$.

Т.к. трапеция равнобокая, то MQ = NR = $$10\sqrt{3}$$.

По условию MN = TR - MQ - NR.

Тогда $$MN = TR - 2MQ = TR - 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20 - 20\sqrt{3} = 20(1 - \sqrt{3})$$.

Ответ: $$ST = 20(1 - \sqrt{3})$$, $$MN = 20(1 - \sqrt{3})$$.