\(\sqrt{72}\)sin^2(9π/8) - \(\sqrt{72}\)cos^2(9π/8)

Привет! Давай упростим это тригонометрическое выражение.

1. Вынесем общий множитель.

   Сначала вынесем \( \sqrt{72} \) за скобки:

   \( \sqrt{72} \left( \sin^2 \frac{9\pi}{8} - \cos^2 \frac{9\pi}{8} \right) \).

2. Вспоминаем формулу косинуса двойного угла.

   Обрати внимание на выражение в скобках: \( \sin^2 x - \cos^2 x \). Это почти формула косинуса двойного угла, но с противоположным знаком. Мы знаем, что \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \).

   Значит, \( \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x \).

3. Применяем формулу.

   В нашем случае \( x = \frac{9\pi}{8} \). Тогда \( 2x = 2 \times \frac{9\pi}{8} = \frac{9\pi}{4} \).

   Выражение в скобках равно \( -\cos \frac{9\pi}{4} \).

4. Упрощаем угол.

   Угол \( \frac{9\pi}{4} \) можно упростить. \( \frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \). Поскольку \( \cos (2\pi + y) = \cos y \), то \( \cos \frac{9\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} \).

5. Находим значение косинуса.

   \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

6. Считаем корень.

   Теперь упростим \( \sqrt{72} \):

   \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \).

7. Собираем все вместе.

   Наше выражение стало:

   \( 6\sqrt{2} \times \left( -\cos \frac{9\pi}{4} \right) = 6\sqrt{2} \times \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).

   \( = - \frac{6\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = - \frac{6 \times 2}{2} = -6 \).

Ответ: -6