Средняя линия трапеции равна 16 см, а ее периметр 64 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC - основания, и MN - средняя линия. Известно, что MN = 16 см, а периметр P = 64 см. Нужно доказать, что в эту трапецию можно вписать окружность. Для того чтобы в четырехугольник (в данном случае, в трапецию) можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны, то есть: AB + CD = AD + BC Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: MN = (AD + BC) / 2 Отсюда, AD + BC = 2 * MN = 2 * 16 = 32 см. Периметр трапеции равен сумме всех ее сторон: P = AB + BC + CD + AD = 64 см Так как AB + CD = AD + BC, то мы можем записать: AB + CD + AB + CD = 64 см 2 * (AB + CD) = 64 см AB + CD = 32 см Таким образом, AB + CD = 32 см и AD + BC = 32 см. Следовательно, суммы противоположных сторон равны: AB + CD = AD + BC Это означает, что в данную трапецию можно вписать окружность. ЧТД