В четырехугольнике ABCD ∠BAD = 74°, ∠BCD = 106°, ∠ABD = 47°, ∠CBD = 58°. Найдите угол между диагоналями четырехугольника, противолежащий стороне ВС.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Нам дано: \(\angle BAD = 74^\circ\) \(\angle BCD = 106^\circ\) \(\angle ABD = 47^\circ\) \(\angle CBD = 58^\circ\) Нам нужно найти угол между диагоналями четырехугольника, противолежащий стороне BC. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда нам нужно найти \(\angle BOC\). 1. Найдем \(\angle ABC\): \(\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 47^\circ + 58^\circ = 105^\circ\) 2. Найдем \(\angle ADC\). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°: \(\angle ADC = 360^\circ - (\angle BAD + \angle BCD + \angle ABC) = 360^\circ - (74^\circ + 106^\circ + 105^\circ) = 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ\) 3. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Найдем \(\angle BAC\): \(\angle BAC = \angle BAD - \angle OAD\) Чтобы найти \(\angle OAD\), надо рассмотреть треугольник AOD. Чтобы найти \(\angle BCA\), рассмотрим треугольник ABC. 4. Рассмотрим треугольник ABC. Угол \(\angle BCA\) равен: \(\angle BCA = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC)\) Чтобы найти \(\angle CAD\), рассмотрим треугольник ACD. 5. Рассмотрим треугольник BCD. Угол \(\angle BDC\) равен: \(\angle BDC = 180^\circ - (\angle BCD + \angle CBD) = 180^\circ - (106^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 164^\circ = 16^\circ\) 6. Рассмотрим треугольник ABD. Угол \(\angle ADB\) равен: \(\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^\circ - (74^\circ + 47^\circ) = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ\) 7. Теперь найдем \(\angle O\) в треугольнике BOC: \(\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB)\) \(\angle OBC = 58^\circ\) \(\angle OCB = \angle BCA\) 8. Найдем \(\angle DAC\): \(\angle DAC = \angle BAC\) 9. Найдем \(\angle ACD\): \(\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA\) \(\angle BCA = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC)\) 10. \(\angle OAD = 74 - \angle OAB \) \(\angle OAD = 16 ^ \circ \) \(\angle OAB = \angle BAC = 16^ \circ \) 11. \(\angle BCA = 180 - (\angle BAC + \angle ABC) = 180 - (16 + 105) = 180 - 121 = 59 ^\circ \) \(\angle BOC = 180 - (\angle OBC + \angle OCB) = 180 - (58 + 59) = 180 - 117 = 63 ^\circ\) Ответ: \(\angle BOC = 63^\circ\)