Стол № 2. В окружности с центром O проведены диаметры AB и CD. Найдите длины дуг, на которые делят окружность точки B и D, если известно, что AB = 8, угол AOD = 30°.

Решение: 1. Так как AB - диаметр, то длина AB должна быть в два раза больше радиуса \(AB = 2R\). То есть \(2R = 8\), следовательно радиус \(R = 4\). 2. Рассмотрим дугу AD. Длина дуги пропорциональна центральному углу, опирающемуся на эту дугу. Длина всей окружности равна \(2\pi R\) или \(2\pi \cdot 4 = 8\pi\). 3. Угол \(\angle AOD = 30^\circ\). Вся окружность составляет \(360^\circ\). Значит, длина дуги AD составляет \(\frac{30}{360}\) от длины всей окружности. Длина дуги AD = \(\frac{30}{360} \cdot 8\pi = \frac{1}{12} \cdot 8\pi = \frac{2}{3}\pi\). 4. Угол \(\angle DOB\) является смежным с углом \(\angle AOD\), поэтому \(\angle DOB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). 5. Длина дуги DB составляет \(\frac{150}{360}\) от длины всей окружности. Длина дуги DB = \(\frac{150}{360} \cdot 8\pi = \frac{5}{12} \cdot 8\pi = \frac{10}{3}\pi\). 6. Угол \(\angle BOC\) является смежным с углом \(\angle AOD\) и вертикальным углу \(\angle AOD\), поэтому \(\angle BOC = 30^\circ\). 7. Длина дуги BC составляет \(\frac{30}{360}\) от длины всей окружности, что равно длине дуги AD. Длина дуги BC = \(\frac{30}{360} \cdot 8\pi = \frac{1}{12} \cdot 8\pi = \frac{2}{3}\pi\). 8. Угол \(\angle COA\) является смежным с углом \(\angle BOC\), поэтому \(\angle COA = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). 9. Длина дуги CA составляет \(\frac{150}{360}\) от длины всей окружности, что равно длине дуги DB. Длина дуги CA = \(\frac{150}{360} \cdot 8\pi = \frac{5}{12} \cdot 8\pi = \frac{10}{3}\pi\). Ответ: Длина дуги AD равна \(\frac{2}{3}\pi\), длина дуги DB равна \(\frac{10}{3}\pi\), длина дуги BC равна \(\frac{2}{3}\pi\), длина дуги CA равна \(\frac{10}{3}\pi\).